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El ángulo entre las agujas del reloj: fórmula, ejemplos y ejercicios
Por el equipo de Reloj Escolar · 18 de julio de 2026 · lectura de 7 minutos
«¿Qué ángulo forman las agujas del reloj a las 3:30?» es un clásico de los deberes de matemáticas, de los exámenes de acceso y hasta de las entrevistas de trabajo. La respuesta rápida está en cada una de nuestras páginas de horas; aquí está la explicación completa: de dónde sale la fórmula, cómo aplicarla sin equivocarse y los casos famosos.
Las dos velocidades
Todo sale de saber cuánto gira cada aguja por minuto. La esfera completa son 360°:
- El minutero da la vuelta entera en 60 minutos: 360° ÷ 60 = 6° por minuto.
- La aguja de las horas tarda 12 horas (720 minutos): 360° ÷ 720 = 0,5° por minuto (o 30° por hora).
A las H horas y M minutos, cada aguja está a esta distancia de las 12, medida como las agujas del reloj:
minutero = 6 · M
aguja horaria = 30 · H + 0,5 · M
ángulo = |30 · H − 5,5 · M|
(si sale más de 180°, réstalo de 360° para quedarte con el ángulo pequeño)
El término 5,5 · M no es más que la diferencia entre lo que avanza el minutero (6°) y lo que avanza a la vez la aguja horaria (0,5°) por cada minuto.
Dos ejemplos resueltos
El segundo ejemplo enseña el error típico: contestar 90° «porque la aguja está en el 3 y el minutero en el 6». Pero a las 3:30 la aguja horaria ya no está en el 3: ha avanzado 15° hacia el 4 (0,5° por cada uno de los 30 minutos). Por eso el ángulo real es 75°. Puedes comprobarlo visualmente en la página de las 3:30, donde cada hora del reloj incluye su ángulo calculado.
Los casos famosos
¿Cuántas veces al día se superponen las agujas?
22 veces (11 cada 12 horas), no 24: como la aguja horaria también avanza, el minutero la alcanza cada 65 minutos y 27 segundos aproximadamente (65 5/11 minutos exactos), no cada 60. La superposición de después de las 11 ya es la de las 12 en punto.
¿Y cuántas veces forman un ángulo recto?
44 veces al día (22 cada 12 horas): en cada «vuelta relativa» del minutero sobre la aguja horaria hay dos momentos a 90°, uno alcanzando y otro alejándose.
¿A qué horas exactas (con minutos en punto) el ángulo es recto?
Solo en dos de las 144 combinaciones de 5 en 5 minutos el ángulo es exactamente 90°: las 3:00 y las 9:00. El resto de los ángulos rectos del día caen en minutos «con decimales» — por ejemplo, tras las 12:00 el primero llega a las 12:16 y 21,8 segundos (M = 180/11).
Ejercicios para practicar
Intenta resolverlos con la fórmula antes de desplegar la solución:
Ejercicio 1. ¿Qué ángulo forman las agujas a las 6:00?
|30·6 − 5,5·0| = 180°. Las agujas quedan alineadas y opuestas: un ángulo llano. Es la posición de «la media vuelta» perfecta.
Ejercicio 2. ¿Y a las 12:15?
|30·12 − 5,5·15| = |360 − 82,5| = 277,5°, que es mayor que 180°, así que tomamos 360 − 277,5 = 82,5°. Truco: para las 12 puedes usar H = 0 y sale directo: |0 − 82,5| = 82,5°.
Ejercicio 3. ¿A las 7:20?
|30·7 − 5,5·20| = |210 − 110| = 100°. Un ángulo obtuso: la aguja horaria va por el 7 y un tercio, y el minutero está en el 4.
Ejercicio 4. Un reto: ¿a qué hora entre las 4 y las 5 se superponen las agujas?
Queremos ángulo 0: 30·4 = 5,5·M, así que M = 120/5,5 = 21,81…, es decir, 21 minutos y 49 segundos aproximadamente (21 9/11 minutos exactos). Las agujas se superponen a las 4:21:49.
¿Quieres comprobar un ángulo cualquiera sin calcular? Cada una de las 144 páginas de horas incluye el ángulo entre las agujas en sus preguntas frecuentes, y en el generador puedes dibujar el reloj y medirlo sobre la imagen descargada.